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By Professor Dr. Johannes Buchmann (auth.)

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Xkak = n ist genau dann durch ganze Zahlen Xl, ... ,ak) ein Teiler von n ist. 4. Es gibt ganze Zahlen Xl,· .. , Xk mit alXl + ... + akXk = gcd(al,"" ak). 5. Der größte gemeinsame Teiler von al, ... , ak ist der eindeutig bestimmte nicht negative gemeinsame Teiler von al, ... , ak, der von allen gemeinsamen Teilern von al, ... ,ak geteilt wird. 14. 4. 15. Berechnen Sie gcd(235,124) samt seiner Darstellung mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus. 16. 14, um gcd(235, 124) einschließlich Darstellung zu berechnen.

Dann erfordert die Addition und Subtraktion zweier Restklassen Zeit o (size m) und die Multiplikation und Division zweier Restklassen kostet Zeit O((sizem)2). Alle Operationen brauchen Speicherplatz O(size m). 8 Prime Restklassengruppen Von fundamentaler Bedeutung in der Kryptographie ist folgendes Ergebnis. 1. Die Menge aller primen Restklassen modulo m bildet eine endliche abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation. Beweis. 2 ist diese Menge die Einheitengruppe des Restklassenrings mod m. Die Gruppe der primen Restklassen modulo m heißt prime Restklassengruppe modulo m und wird mit (7ljm71)* bezeichnet.

Ist m eine natürliche Zahl, so ist die Abbildung 'll ~ 'll/m'll, a t-7 a + m'll ein Ringhomomorphismus. 24)). 5. Seien ml, ... ,mn paarweise teilerfremde ganze Zahlen und sei m = ml m2 ... m n . 11) ein Isomorphismus von Ringen. Beweis. 11) wohldefiniert ist. Ist nämlich a == b mod m, dann folgt a == b mod mi für 1 ::; i ::; n. 11) ein Homomorphismus von Ringen ist. Um die Surjektivität zu beweisen, sei (al + m l 71, ... , an + m n 71) E rr~=l 7l/mi71. 11) hat. 2. 5 zeigt, daß man Berechnungen in 7l/m'll auf Berechnungen in rr~=l 'll/mi71 zurückführen kann.